Яке число в математиці – найбільше, і чи існує воно взагалі?
Яке найбільше число ти можеш вигадати?
У дитинстві ми ставили одне одному такі запитання на шкільному майданчику. Хтось казав щось наївне на кшталт “мільярд мільярдів“. Але його відразу випереджав одноліток, який вже знав про трильйони, сквіліони чи каджилліони.
Зрештою, хтось озвучував найбільш правильну відповідь: “Нескінченність!” Але радість тривала недовго. Інша дитина – з розвиненим математичним мисленням – здогадувалась: “Нескінченність плюс один“.
Яке ж число є найбільшим? Це проблема, над якою математики розмірковують століттями.
Вони припустили існування чисел, які настільки величезні, що жодній людській істоті ніколи не вдавалося повністю запам’ятати їх, не кажучи вже про те, щоб записати.
Що ж до нескінченності, то виявляється, вона не одна, їх кілька. І як би це парадоксально не звучало, одні нескінченності більші за інші.
Немає числа, яке можна було б назвати найбільшим, оскільки натуральні числа нескінченні.
Однак це не означає, що всі великі числа були придумані, виражені, записані або навіть представлені комп’ютерами.
Вийдемо за межі чисел, які використовують у повсякденному житті.
У новинних заголовках найбільші цифри (наприклад, державний борг) зазвичай виражаються в трильйонах. Але є ієрархія чисел, що постійно збільшуються, назви яких рідко згадуються. Починаючи з квадрильйонів, квінтильйонів, секстильйонів і так далі. У квадрильйоні 15 нулів, у квінтильйоні – 18, а в секстильйоні – 21.
У людському тілі, приміром, близько 30 трильйонів клітин. Тому, щоб отримати квадрильйон клітин, вам знадобиться 34 людини.
На Землі приблизно 10 квінтильйонів комах.
А вежа із секстильйонів людей матиме висоту 180 тисяч світлових років — це більше, ніж діаметр Чумацького Шляху.
Можна продовжити до центильйону, який має 303 нулі. Насправді центильйон може бути корисним лише фізикам і математикам, та й то лише у спеціальних областях, як-от теорія струн.
Якби Ілон Маск, приміром, захотів стати центимільйонером, йому довелося б заробляти свої нинішні статки кожну мілісекунду протягом наступних 1,7 x 10^282 років — вийшло б число, що складається з 283 цифр.
Гуголи і гуголплекси
Ще одне велике число — це гугол. Воно містить одиницю і сто нулів.
Число стало джерелом натхнення для відомої пошукової системи. Засновникам Google сподобалось те, що воно виражає величезну кількість інформації, знайдену в мережі. З усім тим, поки що інтернет не настільки великий: на сьогодні інтернет-архів проіндексував лише 801 мільярд вебсторінок з 1990-х років.
Далі – більше. 10 в степені гугол називають гуголплексом.
Математик Джоел Девід Гемкінс з Університету Нотр-Дам у США пояснює, що гуголплекс — це одиниця, за якою слідує гугол-множина нулів. Скільки часу знадобиться, щоб записати це? Ви не змогли б це зробити за все своє життя, навіть якби почали в дитинстві, коли вперше взяли в руки олівець.
Щоб зрозуміти, про яку кількість цифр йдеться, Гемкінс пропонує наступний експеримент:
“Припустимо, я дав вам надшвидкий принтер, який може друкувати мільйон цифр за секунду, – каже він. – А тепер уявіть, що він почав друкувати на початку існування Всесвіту, 13,8 мільярда років тому. Навіть якщо стартувати тоді, ви все одно не наблизитесь до потрібного числа, у вас буде лише крихітна частина гуголплексу“.
Гемкінс також вказує на дещо загадкове: існують великі числа (щоправда, менші за гуголплекс), які не можна звести до простого значення або однієї величини, і тому вони “перебувають за межами нашого розуміння”. Їх ніколи не уявляли і не виражали.
Хоча математики описували числа навіть більші за гуголплекс. Найвідоміше з них – число Грема.
У 1970-х роках математик Рональд Грем використав це число для математичного доказу так званої теорії Ремзі, що полягає у пошуку закономірностей всередині хаосу.
Це – дійсно гігантське число, його створення вимагає піднесення до справді дивовижного показника.
А як же нескінченність?
Для звичайної людини нескінченність здається простим поняттям – це не число, а щось, що триває вічно.
Однак чи здатен людський розум по-справжньому це зрозуміти?
У 1700-х роках письменник і філософ Едмунд Берк писав, що “нескінченність має тенденцію наповнювати розум тим трепетним страхом, що створює відчуття піднесення”.
У Берка ця концепція викликала суміш подиву й страху, задоволення та біль одночасно. Люди стикалися з нею хіба що в уяві, і навіть тоді вони не могли по-справжньому зрозуміти й уявити нескінченність.
Однак у наступному столітті логік Георг Кантор взяв концепцію нескінченності й зробив її ще більш приголомшливою. Деякі нескінченності, як він показав, більші за інших.
Як же так? Щоб це зрозуміти, розглянемо цифри як “набори”. Якби ви порівняли всі натуральні числа (1, 2, 3, 4 тощо) в одному наборі та всі парні числа в іншому наборі, то в принципі кожне натуральне число можна було б поставити в пару з відповідним парним числом. Це поєднання передбачає, що два набори – обидва нескінченні – мають однаковий розмір.
Однак Кантор показав, що те саме не можна зробити з натуральними і дійсними числами – 1, 2, 3, 4 (0,123, 0,1234, 0,12345 тощо).
Якщо ви спробуєте поєднати числа в кожному наборі, ви завжди зможете знайти дійсне число, яке не збігається з натуральним числом. Дійсні числа – незліченно нескінченні. Тож має бути кілька розмірів нескінченності.
Це важко прийняти, не кажучи вже про те, щоб уявити, але саме це відбувається з розумом, коли він намагається опанувати математичні масштаби.
